🛷 10 Sınıf Pascal Üçgeni Konu Anlatımı

a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır. (a+b)5=? Katsayılar 1 5 10 10 5 1 A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1 B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6 (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 *(5x-3y)2 10 Sınıf Fizik Konuları Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri. 10. Sınıf Fizik: Ohm Kanunu TEST – 1 | Üniversiteye. Pascal Prensibinin Kullanım Alanlarına Örnekler. Etkinlik Paylaş: 10. sınıf fizik Mercekler Çözümlü Sorular – PDF. Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı 10. Sınıf. 910,11 ve 12.Sınıf Matematik 2.Dönem 2.Yazılı Soruları ve Çözümleri. Değerli öğrenciler, kanalımda çözdüğüm 2021-2022 Yılı ,10,11 ve 12.Sınıf 2.Dönem 2.Yazılı Sorularının Çözümlerini buradan da izleyebilirsiniz. Öğrencilere ve öğretmenlere örnek olması adına, orijinal yayınlarının 3 farklı seviye olarak 10Sınıf Dil Ve Anlatım 1.Ünite Sunum-Tartışma-Panel Testi Çöz-1 0 10.Sınıf Dil Ve Anlatım 1 Çöz-8 0 10.Sınıf Matematik 1.Ünite 3.Bölüm Kombinasyon Testi Çöz-9 0 10.Sınıf Matematik 1.Ünite 4.Bölüm Pascal Üçgeni-Binom Testi Çöz-10 0 10.Sınıf Matematik 1.Ünite 4.Bölüm Pascal Üçgeni-Binom Testi Çöz TemelKavramlar Konu Anlatımı Sayı Sistemleri Konu Anlatımı YKS Matematik Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı 7.Sınıf Testleri Tüm Dersler. App-Center. flagFlag as inappropriate. Google Play. Play Pass. Play Points. Gift cards. Redeem. Refund policy. Kids & family. PascalÜçgeni: Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur. Pascal üçgeninin bazı özellikleri: • Kenarlar "1"den oluşur • ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir Diküçgen konu anlatımı ve pisagor teoremi. Dik Üçgen Nedir? Üçgenin bir açısı 90 derece ise o üçgen dik üçgendir. Sembol ik olarak pisagor teoremi, iki zıt unsurunun karşılıklı iletişimlerinin oluşturduğu üçüncü unsuru açıklar. Örneğin; kıyas yolu ile a bir ana ve b bir baba olarak kabul edilirse, c onların SınıfMatematik Konu Anlatımları ve Çözümlü Soruları ile ilgili aşağıda yer alan başlıkları konu anlatımı ve çözümlü sorular a yazılarımız üzerinden inceleyebilirsiniz. 10. SINIF MATEMATİK KONULARI 1. ÜNİTE KONULARI Faktöriyel Permütasyon Kombinasyon Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Olasılık 2. ÇARPANLARAAYIRMA YÖNTEMLERİ VE ÖZDEŞLİKLER ÖRNEKLERLE KONU ANLATIMI. Çarpanlara ayırma ve özdeşlikler, matematiğin başta denklem çözümleri olmak üzere bir çok konu için olmazsa olmaz bir konusudur. Bu konuda eksiği olan 10.sınıf öğrencisi hem 11.sınıfta hem de 12.sınıf matematik konularında zorluk yaşayacaklardır. puXv6. Temel Yeterlilik Sınavı TYT13 Haziran 2020 Cumartesi Başarıya daha kolay ulaşmak için sizinde bir eğitim koçunuz olsun. Eğitim koçluğu hakkında bigi için TIKLAYIN KONU ANLATIMLARI ÇÖZÜMLÜ SORULAR DERSLERİN ÜZERİNE TIKLAYARAK AÇABİLİRSİNİZ BİNOM TANIM n doğal sayı olmak üzere; eşitliklerine binom açılımı denir. AYRICA * sayılarına binom kat sayıları denir. * ifadelerinin her birine terim denir. * ifadesinde ; katsayı , , xn-r ile yr terimin çarpanlarıdır. GENEL KURALLAR ÇÖZÜMLÜ SORULAR Ortadaki Terimi Bulma Sondan n 'inci Terimi Bulma Hatırlatma x+yn in açılımında n+1 tane tarim vardır. Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Tüm dokümanlar tanıtım amaçlıdır satışı yapılmadığı gibi hiçbir ticari menfaat gözetilmemektedir. 5846 Fikir ve Sanat Eserleri Kanununda Değişiklik Resmi Gazete Kabul Tarihi ile kanunun 25. maddesinin ek 4. maddesine göre hakkı ihlal edilen öncelikle üç gün içinde ihlalin durulmasını istemek zorundadır. Eğer ihlal edilen bir durum söz konusu ise iletişim birimlerinden lütfen bize ulaşınız. Pascal özdeşliği veya Pascal üçgeni, üçgensel bir sayı dizisidir. Bu üçgen, Fransız matematikçi Blaise Pascal’ın soyadıyla anılsa da Pascal’dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya’da bazı matematikçiler ve Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam tarafından da bulunmuştur. Pascal üçgeni incelendiğinde, üçgendeki bir sayının kendi üstündeki iki sayının toplamı olduğu görülür. Pascal üçgenindeki satırları 0 sıfır dan başlayarak numaralandırdığımızda 1. örnekteki katsayılar ile Pascal üçgenindeki satırların aynı olduğunu görürüz. On birinci yüzyılda yaşamış ünlü matematikçilerden biri de Ömer Hayyamdır. Asıl adı Gıyasettin Ebulfeth Bin İbrahim El Hayyam'dır. Ömer Hayyam’ın matematiğe başlaması tesadüfen olmuştur. Babası çadırcı olduğundan, oğlunun baba mesleğini devam ettirmesi için biraz geometri öğrenmesi gerektiğine karar vermiştir. Oğluna hocalar tutmuştur. Fakat hocalar oğlunun çadırcılıkla yetinmeyeceğini anlamışlar ve babasından rica edip, eğitimini sürdürmesini sağlamışlar. Hayyam da hocalarının yüzünü kara çıkarmamıştır. Yaşadığı dönemde İbn-i Sina'dan sonra Doğu'nun yetiştirdiği en büyük bilgin olarak kabul edilmiştir. Tıp, astronomi, fizik, cebir, geometri ve matematik alanlarında önemli çalışmaları olan Hayyam'ın birçok yapıtı bugüne ula- şamamıştır. Daha çok rubaileri ile tanıdığımız Hayyam, Celali Takvimi’ni de bulmuştur. Binom açılımı konusu, 11. sınıf müfredatında olasılık konusundan önceki konudur ve Lys matematik sınavında soru gelmektedir. n pozitif tam sayı olmak üzere, x + y üzeri n ifadesinin açılımına binom açılımı denir. Bu konuda bulunan konu başlıkları; Binom açılımının tanımı Binom açılımının kuralı Pascal üçgeni Binom açılımındaki terim sayısı Binom açılımında katsayılar toplamı Binom açılımında sabit terim Binom açılımında baştan ve sondan n. terimi bulma kuralıi 19. ôekil u de verilen ü¿gen, Pascal ü¿geni olarak bilinir. 1623 - 1662 yŽllarŽ arasŽnda yaõayan FransŽz matematik¿i Blaise Blez Pascal Žn adŽyla anŽlan ve binom a¿ŽlŽmŽndaki katsayŽlarŽ veren bu ü¿gen ile ilgili ilk ¿alŽõmalarŽ Hintliler yapmŽõtŽr. SonrasŽnda 1048 - 1131 yŽllarŽ arasŽnda yaõayan õair, ùlozof ve matematik¿i olan ±mer Hayyam Žn da bu konuda ¿alŽõmalarŽ olmuõtur. Bu ü¿genle ilgili Hayyam Žn bir kitabŽnŽn olduóu, fakat kitabŽn günümüze ulaõmadŽóŽ, ±mer Hayyam Žn bu kitaptan baõka kitaplarŽnda bahsettiói bilinmektedir. ±mer Hayyam Žn cebir üzerine yazdŽóŽ kitap Doóu da matematik dünyasŽnda uzun yŽllar kullanŽlmŽõtŽr. BatŽlŽ matematik¿ilerin bu kitapla tanŽõmasŽ 1800 lü yŽllarda yapŽlan ¿evirisi ile olmuõtur. ±ncesinde ise 1742 yŽlŽnda Gerard Meerman +eôa .JmaO adlŽ bilim adamŽ bir eserinin ËnsËzünde islam bilginlerinin matematióe katkŽlarŽndan ve ±mer Hayyam Žn Hollanda Kütüphanesi nde bulunan el yazmasŽ eserinden 20. ôekil u de verilen ü¿gen Pascal ü¿genidir. Pascal ü¿- geninde her satŽrŽn birinci sayŽsŽ olan 1 den sonra gelen sayŽ, bir üst satŽrŽn birinci ve ikinci sayŽlarŽnŽn toplamŽdŽr. Her satŽrŽn ü¿üncü sayŽsŽ üst satŽrŽn ikinci ve ü¿üncü sayŽ- larŽnŽn toplamŽdŽr. Bu õekilde oluõturulan Pascal ü¿geninde her satŽrŽn son sayŽsŽ ise yine 1 Bir sŽnŽfta 15 kŽz, 16 erkek Ëórenci vardŽr. Bu sŽnŽftan se¿ilecek bir Ëórenci ka¿ farklŽ bi¿imde belirlenebilir 2. 10 soruluk bir testte her soru i¿in 5 farklŽ se¿enek bulunmaktadŽr. Art arda gelen sorularŽn cevaplarŽ aynŽ olmayacaóŽna gËre bu test i¿in ka¿ farklŽ cevap anahtarŽ oluõturulabilir 3. i 21. ôekil u de A, B ve C õehirlerinin arasŽndaki yollar gËsterilmiõtir. a. A õehrinden C õehrine gitmek isteyen bir kiõi ka¿ farklŽ yol kullanabilirb. Gidiõ ve dËnüõte B õehrine uórayacak biri A õehrinden C õehrine gidip dËnecektir. KullandŽóŽ yolu tekrar kullanamayacak olan bu kiõi ka¿ farklŽ yol kullanabilir 4. A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlarŽ kullanŽlarak ü¿ basamaklŽ a. Ka¿ doóal sayŽ oluõturulabilir b. 3akamlarŽ farklŽ ka¿ doóal sayŽ oluõturulabilir c. 3akamlarŽ farklŽ ka¿ ¿ift doóal sayŽ oluõturulabilir d. 300 ile 600 arasŽnda ka¿ doóal sayŽ oluõturulabilir PASCAL ÜÇGENİFransız matematikçi Blaise Pascalın adıyla anılan Pascal Paskal üçgeninin kuralı şu şekildedir► İlk satırda tek eleman vardır ve 1’dir.► Alt satırlara inildikçe satırdaki eleman sayısı 1 artar.► Her satırının ilk ve son elemanı 1’dir.► Satırdaki diğer elemanlar bir üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının kurala göre devam eden Paskal üçgeninin aşağıda ilk 6 satırı AÇILIMIAşağıdaki özdeşlikleri ya biliyoruz ya da çarpma işlemi yaparak kolayca bulabiliriz.x + y1 = x + yx + y2 = x + y.x + y = x2 + 2xy + y2x + y3 = x + y.x + y.x + y = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3Ancak kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak x + yn ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.x + yn = \\binom{n}{0}\ xn−0 y0 + \\binom{n}{1}\ xn−1 y1 + \\binom{n}{2}\ xn−2 y2 + … + \\binom{n}{n}\ xn−n ynBinom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş x + y5 ifadesinin özdeşini binom formülünü kullanarak x’in azalan kuvvetlerine göre katsayılarını \\binom{5}{0}\dan \\binom{5}{5}\e doğru sırayla yazarız. x’in kuvvetlerini 5’ten 0’a doğru, y’nin kuvvetlerini 0’dan 5’e doğru sırayla terimlere yazarız.x + y5 = \\binom{5}{0}\ x5 y0 + \\binom{5}{1}\ x4 y1 + \\binom{5}{2}\ x3 y2 + \\binom{5}{3}\ x2 y3 + \\binom{5}{4}\ x1 y4 + \\binom{5}{5}\ x0 y5Daha sonra katsayılardaki kombinasyon değerlerini hesaplayıp yerlerine yazarız.x + y5 = 1 x5 y0 + 5 x4 y1 + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x1 y4 + 1 x0 y5Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.x + y5 = x5 + 5 x4 y + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x y4 + y5PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMI İLİŞKİSİPascal üçgenindeki sayılar kombinasyon hesabı ile de elde edilebilir. Bu kombinasyon değerleri aynı zamanda x + yn ifadesinin açılımında katsayılara karşılık gelir. Bu ilişki sayesinde açılımdaki katsayılar kombinasyon hesabı yerine Pascal üçgeninden x + y4 ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.x + y4 = 1 x0 y4 + 4 x1 y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y1 + 1 x4 y0Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.x + y4 = y4 + 4 x y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y + x4Pascal ÖzdeşliğiPascal üçgeninde bir satırdaki iki elemanın toplamının alt-ortalarındaki elemana eşit olduğunu biliyoruz. Bu özelliği yukarıdaki görselde kombinasyonla oluşturulmuş üçgende de Pascal üçgeninde 4 ve 6’nın toplamı alt-ortalarındaki 10’a eşittir. Bu sayıların yerlerine kombinasyon üçgeninde bakacak olursak \\binom{4}{1}\ + \\binom{4}{2}\ = \\binom{5}{2}\ eşitliğini görürüz. Bu eşitliği genellersek aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.\\binom{n}{r}\ + \\binom{n}{r+1}\ = \\binom{n+1}{r+1}\ eşitliğine Pascal özdeşliği \\binom{12}{5}\ + \\binom{12}{6}\ ifadesinin \\binom{13}{6}\ya eşit olduğunu pascal özdeşliği sayesinde AÇILIMININ ÖZELLİKLERİTerim sayısıx+yn ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1 2x + 3y10 ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim üsler toplamıx+yn ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n 3x − y8 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi ifadenin açılımdaki 7. terimi 252x2y6 dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu r+1 inci terimx+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1inci terim \\binom{n}{r}\ xn−r yr 2x + 4y5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini + 1 = 4 olduğu için r = 3’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 3, x yerine 2x, y yerine de 4y yazarız.\\binom{n}{r}\ xn−r yr = \\binom{5}{3}\ 2x5−3 4y3 = 10 . 4x2 . 64y3 = 2560x2y3Sondan r+1 inci terimx+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1inci terim \\binom{n}{r}\ xr yn−r x − 2y7 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan 5. terimini + 1 = 5 olduğu için r = 4’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 4, x yerine x, y yerine de −2y yazarız.\\binom{n}{r}\ xr yn−r = \\binom{7}{4}\ x4 −2y7−4 = 35 . x4 . −8y3 = −280x4y3Ortanca terimn doğal sayı olmak üzere x+y2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \\binom{2n}{n}\ xn yn 2x − 110 ifadesinin açılımında ortada yer alan terimi üssü 10 olduğundan n = 5 alırız. Aşağıdaki ifadede n yerine 5, x yerine 2x, y yerine −1 yazarız.\\binom{2n}{n}\ xn yn = \\binom{10}{5}\ 2x5 −15 = 252 . 32x5 . −1 = −8064x5Katsayılar toplamıx+yn ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı 3x − 5y4 ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır toplamını bulmak için x ve y yerine 1 toplamı = − = 3 − 54 = −24 = 16Sabit terimx+yn ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı 3x − 15 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır terimi bulmak için x yerine 0 terim = − 15 = 0 − 15 = −15 = −1ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULARÖRNEK 1 x − y5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.x − y5 = \\binom{5}{0}\ x5 −y0 + \\binom{5}{1}\ x4 −y1 + \\binom{5}{2}\ x3 −y2 + \\binom{5}{3}\ x2 −y3 + \\binom{5}{4}\ x1 −y4 + \\binom{5}{5}\ x0 −y5x − y5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3 y2 − 10 x2 y3 + 5 x y4 − y5ÖRNEK 2 3x + 2y3 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.3x + 2y3 = \\binom{3}{0}\ 3x3 2y0 + \\binom{3}{1}\ 3x2 2y1 + \\binom{3}{2}\ 3x1 2y2 + \\binom{3}{3}\ 3x0 2y33x + 2y3 = 27 x3 + 54 x2 y + 36 x y2 + 8y3ÖRNEK 3 x + 73k+1 ifadesinin açılımında 11 terim bulunduğuna göre k kaçtır bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1’dir. Bu yüzden3k + 2 = 113k = 9k = 3 4 2x + yk ifadesinin açılımındaki terimlerden biri olduğuna göre k kaçtır bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n’dir. Bu yüzdenk = 2 + 4k = 6 5 −2x + 15 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini bulalım.x+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1’inci terim \\binom{n}{r}\ xn−r yr dir. Bu yüzden r + 1 = 4 eşitliğinden r = 3 elde ederiz.\\binom{5}{3}\ −2x5−3 1310 . 4 . x2 . 1 = 40x2ÖRNEK 6 −x − 26 ifadesinin açılımının ortadaki terimini bulalım.x+y2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \\binom{2n}{n}\ xn yn dir. Bu yüzden n yerine 3, x yerine −x, y yerine −2 yazarız.\\binom{6}{3}\ −x3 −23 = 20 . −x3 . −8 = 160x3ÖRNEK 7 2x − 3y5 ifadesinin katsayılar toplamını bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır. Bu yüzden katsayılar toplamını − = −15 = −1 8 3x − 26 ifadesinin sabit terimini bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır. Bu yüzden sabit terimi − 26 = −26 = 64 buluruz.

10 sınıf pascal üçgeni konu anlatımı